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Distancia entre dos puntos

Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.

Otra de las  utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x 2 – x 1 ) .

Ejemplo:

La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:


Distancia001 (1)


Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P 1 P 2 y emplear el Teorema de Pitágoras .


Ejemplo:

Calcula la distancia entre los puntos P 1 (7, 5) y P 2 (4, 1)


Distancia002

Demostración

Sean P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P 1 y P 2 denotada por d = Distancia006 esta dada por:

Distancia_entre_dos_puntos_image008 (1)

En la Figura 1 hemos localizado los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) así como también el segmento de recta Distancia009


Distancia010

Figura 1

Al trazar por el punto P 1 una paralela al eje x (abscisas) y por P 2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el punto R , determinado el triángulo rectángulo P 1 RP 2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras :


Distancia_entre_dos_puntos_image011
Pero: Distancia013 ;

y

Distancia016


Luego, Distancia018



Distancia020


En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.

El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P 1 y P 2 no afecta el valor de la distancia.

Fuente Internet:

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.1.html

Ver en Internet

http://tutormatematicas.com/ALG/Formulas_punto_medio_y_distancia.html

Ver en Youtoube:

http://vodpod.com/watch/1266941-distancia-entre-dos-puntos

http://matematicasies.com/?Distancia-entre-dos-puntos

http://www.youtube.com/watch?v=422FkHMMLcI

Materias