Dada la ecuación general de una circunferencia, obtener su centro y el radio

Para entrar en materia, tenemos la siguiente ecuación general de una circunferencia:

x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0

a partir de ella podemos encontrar  el centro y el radio de esa circunferencia.

Para hacerlo, existen dos métodos:

Primer método

La ecuación general dada la vamos a convertir en dos binomios al cuadrado igual a r2, que es la forma de la ecuación ordinaria,

De nuevo conviene recordar que un binomio al cuadrado se escribe como

(a + b)2, que dasarrollado queda como

(a + b) + (a + b)

a2 + ab +ab + b2

a2 + 2ab + b2

Primer término al cuadrado (x)2, más el doble del producto del primero por el segundo término  2(x)(0,5), más el cuadrado del segundo término (0,5)2

 

Aquí debemos fijar nuestra atención en el término 2ab, que está precedido por el 2 y tiene ab (sin elevar al cuadrado), siendo a el primer término y b el segundo del binomio. Este término (b) será clave para poder completar los 3 términos que genera el binomio al cuadrado (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Volviendo a nuestra ecuación general, debemos saber que en ella la x corresponde al primer término  −la a de  (a + b)2y la y corresponde al segundo −la b de (a + b)2

Reiteramos nuestra ecuación general:

x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0 y vamos a separar sus términos para darle forma de dos binomios al cuadrado desarrollados:

Deberíamos obtener algo como:

ecuacion_circunferencia039, entendido como la suma de dos binomios al cuadrado, donde en cada binomio encontramos:

el cuadrado del primer término (del binomio) (x2 en uno e y2 en el otro)

el doble producto del primer término por el segundo  (−3x en uno y +4y en el otro)

el cuadrado del segundo término (del binomio) (+/− ¿?) en ambos cuadrados y que es ese tercer término que debemos deducir para cada cuadrado del binomio.

Este tercer término, lo obtendremos del −3x para un binomio y del +4y para el otro.

Respecto a −3x, sabemos que corresponde al segundo término del binomio desarrollado, generalizado como 2ab.

Ahora, si  tenemos ecuacion_circunferencia040   vemos que la x (a) está al cuadrado en x2 (a2) y lineal en x (a), entonces el −3 corresponde a 2b (el segundo término lineal en 2ab).

Y hacemos

ecuacion_circunferencia041

Ya conocemos b, entonces lo ponemos en nuestra fórmula

ecuacion_circunferencia042

Hacemos lo mismo para el segundo binomio:

Si tenemos ecuacion_circunferencia943 vemos que la y (a) está al cuadrado en y2 (a2) y lineal en  y (a), entonces el +4 corresponde a 2b (el segundo término lineal en 2ab).

Y hacemos

ecuacion_circunferencia044

Ahora completamos la fórmula

ecuacion_circunferencia045

(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 1

Ahora, como en el lado izquierdo de la ecuación agregamos +2,25 y +4, para mantenerla equilibrada debemos agregar lo mismo en el lado derecho:

(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 1 + 2,25 + 4

(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) =  7,25

Y ahora tenemos dos trinomios, los cuales nos generarán dos binomios al cuadrado, de la forma:

(x − 1,5)2  + (y + 2)2 = 7,25

Que es la ecuación ordinaria de la circunferencia, y de donde obtendremos las coordenadas del centro y el valor del radio.

Recordemos la estructura de la ecuación ordinaria:

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

Reemplazamos y queda

(x − − 1,5)2 + (y − + 2)2 = r2

(x  + 1,5)2 + (y − 2)2 = 7,25

Ecuación que nos dice lo siguiente:

La x y la y representan a las coordenadas de cualquier punto sobre la circunferencia equidistante del centro.

Los valores 1,5−2 representan las coordenadas del centro de la circunferencia anterior

El valor 7,25 representa a r2, por lo tanto ecuacion_circunferencia046

Entonces, la ecuación general x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0

corresponde a una circunferencia con centro  C(1,5 ,  −2) cuyo radio es ≈ 2,69 como la que vemos en la figura.

x

 

 

Ecuación general de la circunferencia de la izquierda:

 

x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0

 

Segundo método

Lo llamaremos método de fórmulas conocidas.

Reiteramos nuestra ecuación general:

x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0 y para este método utilizaremos solo fórmulas (que debemos recordar o conocer):

Primero, recordemos la estructura de la ecuación ordinaria:

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

Recordemos que en esta ecuación la x y la y representan las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia que equidiste un radio desde el centro, y que h y k representan las coordenadas del punto central de la circunferencia (también se utiliza a y b para identificarlas)

Es a partir de esta ecuación que se obtienen las fórmulas que usaremos:

ecuacion_circunferencia047

ecuacion_circunferencia048

ecuacion_circunferenciq049

También tenemos que recordar que la estructura de la ecuación general de la circunferencia la podemos expresar como

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Y si la comparamos con la ecuación dada tendremos

ecuacion_circunferencia050

donde vemos que

D vale −3

E vale +4

F vale −1

y con estos datos y con las fórmulas de arriba vamos a conocer las coordenadas del centro:

ecuacion_circunferencia051

ecuacion_circunferencia052

Nuestra circunferencia tiene centro en las coordenadas (1,5,  −2)

Con los mismos datos calculamos ahora el radio de la circunferencia:

ecuacion_circunferencia053

Nuestra circunferencia tiene un radio ≈ 2,69 y sus coordenadas del centro C(1,5,  −2)

 

Ejercicio 1

Calcular el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0

Recordemos la estructura de la ecuación general:

x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0

Que sintetizada queda

x2 + y2  +  Dx  + Ey + F = 0

Desarrollemos la ecuación

x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0

x2 + y2 + 2x − 4y = 4

Busquemos los dos binomios al cuadrado

ecuacion_circunferencia054

El tercer término que falta en el primer binomio se obtiene de

ecuacion_circunferencia055

Y el tercer término que falta en el segundo binomio se obtiene de

ecuacion_circunferencia056

Asi formamos:

ecuacion_circunferenciq057

 

Vemos que al lado izquierdo agregamos +1 y +4 (los terceros términos de los binomios) por ello agregamos los mismos valores a la derecha de la ecuación, para equilibrarla.

Ahora  partir de estos dos trinomios podemos definir dos binomios al cuadrado:

(x + 1)2 + (y − 2)2 = 9

que, como vemos, se asemeja a nuestra ecuación ordinaria de la forma

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

Si comparamos, resulta que

h = +1

k = −2

Reemplazamos y tenemos

(x − +1)2 + (y − −2)2 = r2

(x − 1)2 + (y + 2)2 = 9

ecuacion_circunferencia059

(x − 1)2 + (y + 2)2 = 3

Respuesta:

Las coordenadas del centro de la circunferencia dada son (─1, 2) y su radio es igual a 3.

 

Usemos el método de las fórmulas.

Conocemos la estructura de la ecuación ordinaria:

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

Conocemos las fórmulas

ecuacion_circunferencia047

ecuacion_circunferencia048

ecuacion_circunferenciq049

Estructura de la ecuación general de la circunferencia:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

La comparamos con la ecuación dada, y tendremos

ecuacion_circunferencia059

donde vemos que

D vale +2

E vale −4

F vale −4

Reemplacemos en las fórmulas:

ecuacion_circnferencia060

ecuacion_circunferencia061

Nuestra circunferencia tiene centro en las coordenadas (−1,  2)

Y su radio es

ecuacion_circunferencia062

Nuestra circunferencia tiene un radio igual a 3

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Ecuación de la circunferencia

 

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