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Ángulos en la circunferencia

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Dibujando líneas que estén dentro de una circunferencia o que tengan relación con ella podemos definir distintos tipos de ángulos , como se aprecia en la figura a la derecha:

Donde:

δ (delta) = ángulo inscrito (71,47º), con el vértice sobre la circunferencia y con lados que son cuerdas de la misma.

α (alfa) = ángulo semiinscrito (41,68º) , cuyo vértice está en la circunferencia y tiene un lado que es tangente en dicho vértice y el otro que es una cuerda.

γ (gama) = ángulo central o del centro (45,42º), con el vértice en el centro de la circunferencia y con sus lados coincidentes con radios .

β (beta) = ángulo interior (47,3º), con sus lados que son cuerdas de la circunferencia y con el vértice situado en el interior de la misma.

A continuación veremos algunas características de estos ángulos y analizaremos ciertas relaciones entre ellos.

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Ángulo inscrito en la circunferencia

El ángulo inscrito en una circunferencia es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y cuyos lados son dos cuerdas de la misma (si las cuerdas se prolongan, diremos que son dos rectas secantes ).

En la figura a la izquierda, vemos varios ángulos inscritos que abarcan o subtienden el arco FD .

Todos miden lo mismo (71,47º), por ello, podemos afirmar que “los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales” .

En nuestro ejemplo, son iguales los ángulos de vértices B, A, G, H.

También debemos recordar que un ángulo inscrito vale la mitad del arco que abarca .

El ángulo se expresa en grados. El valor de un arco se expresa en grados y
coincide con el valor del ángulo del centro correspondiente.

Cuando el arco comprendido entre los radios tiene la longitud de éstos, el valor del ángulo central es un radián , una circunferencia tiene pues radianes.

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Ángulo central o del centro en la circunferencia

El ángulo central o del centro es el que tiene el vértice en el centro de la circunferencia, siendo sus lados dos radios.

En la figura a la derecha, vemos que el ángulo del centro dibujado, con vértice en O, abarca o subtiende el arco FG .

Al respecto, debemos reiterar que “El ángulo del centro mide lo mismo que el arco que abarca” .

En la misma figura de la derecha se dibujó un ángulo inscrito (α = 37,3º) que subtiende o abarca el mismo arco que el ángulo del centro (γ = 74,6º) ; en dicha situación (y los valores indicados lo confirman), “ Cuando un ángulo inscrito y un ángulo del centro de una circunferencia abarcan el mismo arco, el ángulo inscrito vale la mitad que el del centro”.

Ver: PSU: Geometría;

Pregunta 06_2005

Pregunta 10_2005

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Es importante notar que dos puntos, A y B, sobre una circunferencia determinan dos arcos y, por tanto, dos ángulos centrales:

uno cóncavo (α = 130,68º) y

uno convexo (β = 229,32º) ,

o los dos iguales, que sumarán 360º .


Los ángulos inscritos ( γ = 65,34º y δ = 114,66 en la figura de la derecha) que subtienden los mismos arcos que subtienden los ángulos del centro mencionados, serán suplementarios, pues sumarán siempre 180º . x


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Ángulo semiinscrito en la circunferencia

El ángulo semiinscrito tiene el vértice A en la circunferencia, siendo sus lados la recta t tangente en A y la cuerda AB (figura a la izquierda).

La tangente, que es perpendicular al radio, es lado de dos ángulos semiinscritos y cada uno subtiende un arco diferente.

Un ángulo semiiscrito (en la figura es δ = 67,5º ) vale la mitad que el ángulo del centro ( α = 135º ) que abarca el arco AB .

Nótese que en la figura están dados  los valores de los ángulos y es fácil comprobar lo antes dicho, pero para comprobarlo de modo general, sin saber los valores, calculamos el valor del ángulo central así:

angulos_circunferencia_001 ,

por pertenecer al triángulo isósceles ABC (recordar que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180º, y que el triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales).

Entonces, calculamos el valor del ángulo δ semiinscrito:

angulos_circunferencia_002

El razonamiento es el mismo cuando el ángulo semiiscrito (ζ (zeta) = 112,5º) abarca el otro arco definido por AB . x


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Ángulo interior en la circunferencia

El ángulo interior α tiene el vértice en un punto interior de la circunferencia, en el círculo . Sus lados son dos rectas secantes.

El ángulo interior angulos_circunferencia_003 , siendo δ y ε los ángulos centrales de los arcos (AC y DB) definidos por las rectas secantes.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el triángulo escaleno AGD :

el ángulo angulos_circunferencia_004 , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco AC ;
el ángulo angulos_circunferencia_005 , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco DB ;
entonces el ángulo angulos_circunferencia_006 , por lo tanto,

angulos_circunferencia_007

xx

Ángulos exteriores a la circunferencia

El ángulo exterior ε tiene el vértice (A) en un punto exterior a la circunferencia. Sus lados son dos rectas secantes (AB y AC) .

El ángulo exterior angulos_circunferencia_008 , siendo α y β los ángulos centrales de los dos arcos definidos por las dos rectas secantes.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el triángulo escaleno ADB:

el ángulo angulos_circunferencia_009 ,  pues es el ángulo inscrito que abarca el arco ED ;
el ángulo angulos_circunferencia_010 , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco BC ;
el ángulo angulos circunferencia_011 ,  suplementario de CDB ;
por lo tanto, el ángulo

angulos_circunferencia_012

Hay otros dos casos de ángulos exteriores, según sus lados sean secantes o tangentes a la circunferencia:

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El ángulo exterior circunscrito α (figura de la izquierda) tiene los dos lados tangentes a la circunferencia; α = 180º — γ , siendo γ el ángulo central BOC definido por las tangentes.

Vamos a comprobarlo:

El cuadrilátero ABOC cumple, como tal, que la suma de sus ángulos interiores es 360º.

Siendo dos de sus ángulos rectos (β y δ) , resulta que 180º = α + γ ,

luego α = 180º — γ .

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El ángulo exterior circunscrito γ tiene un lado secante y otro tangente a la circunferencia (figura a la derecha).
El ángulo exterior angulos_circunferencia_013 , siendo α y β los ángulos centrales de los arcos definidos por sus lados.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el triángulo escaleno ABC :

el ángulo angulos_circunferencia_014 , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco CD ;
el ángulo angulos_circunferencia_015 , pues es el ángulo suplementario de δ , ángulo semiinscrito que abarca el arco BC;

el ángulo angulos_circunferencia_016


Fuente Internet:

http://www.educared.org/wikiEducared/%C3%81ngulos_en_las_circunferencias.html

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Ver:

http://filemon.upct.es/~pepemar/angulo/home.htm

http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Angulos_en_la_circunferencia/Angulos_circunferencia.htm

http://www.aulafacil.com/matematicas-basicas/geometria/curso/Lecc-42.htm

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