Productos notables

 

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

 A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

 

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

 

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2

Nota:

Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.

 

Ver: PSU; Matemática

Pregunta 12_2005

 

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

 

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

 

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

 

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)2

 

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)

 

(a + b) (a – b) = a2 – b2

 

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda

Demostración:

 

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 – b2

 

Ver: PSU: Matematica,

Pregunta 15_2010

Pregunta 19_2010

Pregunta 09_2006

 

Otros casos de productos notable (o especiales):

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

 

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Demostración:

Veamos un ejemplo explicativo:

Tenemos la expresión algebraica

x2 + 9 x + 14

obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )

¿Cómo llegamos a la expresión?

a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2

b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x

c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14


Así, tenemos:

x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)

 

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

 

x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)

Demostración:

 

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).

 

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

 

x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

 

mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)

 

En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).

 

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx2 + ab + (mb + na)x debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).

 

Cubo de una suma

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

 

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3.

 

Cubo de una diferencia

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

 

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3.

A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:

 

Producto notable
Expresión algebraica
Nombre

(a + b)2

=

a2 + 2ab + b2

Binomio al cuadrado

(a + b)3

=

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Binomio al cubo

a2 - b2

=

(a + b) (a - b)

Diferencia de cuadrados

a3 - b3

=

(a - b) (a2 + b2 + ab)

Diferencia de cubos

a3 + b3

=

(a + b) (a2 + b2 - ab)

Suma de cubos

a4 - b4

=

(a + b) (a - b) (a2 + b2)

Diferencia cuarta

(a + b + c)2

=

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Trinomio al cuadrado

 

Fuentes Internet:

http://valle.fciencias.unam.mx/~rocio/factorizacion/factorizacion.html

http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html

Ver, también:

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap2/algebra10.html

 

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