Desigualdades


Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

    no es igual
 <     menor que
 >     mayor que
    menor o igual que
    mayor o igual que

 

De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20

 

Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.

Por ejemplo:

                x + 3 < 7

(La punta del signo < siempre señala el menor)

Ejemplos:  3 < 4,       4 > 3
 
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender las propiedades de las desigualdades.

Propiedades de las desigualdades

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

                a < b            / ± c  (sumamos o restamos c a ambos lados)

         a ± c < b ± c

Ejemplo 

               2 + x  >  16          / – 2  (restamos 2 a ambos lados)
           2 + x − 2 > 16 − 2
                       x  >  14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

           a < b            / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
       a • c < b • c  
             a > b          / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
        a • c > b • c

Ejemplo 

                3 ≤ 5 • x   / :5
                3/5 ≤ x    esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

        a < b              / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
    a • c > b • c
        a > b             / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
    a • c < b • c

Ejemplo 

                15 – 3 • x ≥ 39                   / −15
                     − 3 • x ≥ 39 – 15           /: −3
                              x ≤ 24: (−3)
                              x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.

De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.

Más sobre Resolver una desigualdad

Ver: PSU: Matemática, Pregunta 25_2010

Fuentes Internet:

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=123.456.789.000&ID=138169

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=123.456.789.000&ID=133249

 

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