Ecuación exponencial

 

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial debemos tener en cuenta que:

ecuacion_exponencial001
y que si

ecuacion_exponencial002
También debemos recordar las propiedades de las potencias.


a0 = 1  

a1 = a

ecuacion_exponencial003
ecuacion_exponencial004

am • an = am+n

am : an = am − n

(am)n = am · n

an • bn = (a · b)n

an : bn = (a : b)n

Para resolver una ecuación exponencial vamos a seguir los siguientes pasos:

Uno: Si los dos miembros de la igualdad tienen distinta base, debemos reducirlos a la misma base.

Ejemplo:

ecuacion_exponencial005

Dos: Una vez que tenemos la misma base en los dos miembros, igualamos los exponentes y resolvemos la ecuación:

ecuacion_exponencial006.

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 29_2010

Un problema con ecuación exponencial

Sea que tengamos

ecuacion_exponencial007

Reducimos a la misma base

ecuacion_exponencial008

El primer término es una potencia elevada a potencia, y lo expresamos

ecuacion_exponencial009

Esta ecuación exponencial es una ecuación de segundo grado. Para resolverla, es necesario el uso de incógnitas auxiliares. Así el problema se simplifica y es fácil comprobarlo.

La incógnita auxiliar para esta ecuación exponencial es:

ecuacion_exponencial010

A continuación se reemplaza con el valor de la incógnita auxiliar en la ecuación y se resuelve.

z2    +    z    =    72

z2   +    z   −   72   =   0

Esta ecuación podría resolverse mediante la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, pero como corresponde al caso de factorización de un trinomio perfecto es conveniente por su rapidez utilizar dicha factorización. Se debe recordar que para hacerla hay que buscar dos números que multiplicados den –72 y que sumados, al mismo tiempo, den 1 (positivo). Estos números son: 9 y –8.

Factorizando queda:

(z  +  9) (z  −  8)  =  0

 Luego se igualan ambos paréntesis a cero; se obtienen dos resultados y se elige el que sea correcto.

  z  +  9  =  0                             z  −  8  =  0
        z   =   −9                                   z   =   8

De los dos resultados, el correcto es z = 8, porque 23 =  8.

(Para resolver cualquier ecuación exponencial siempre deben igualarse las bases; en este ejercicio todas las bases deben ser 2).

Sabiendo que

z  =  8;  ahora se debe reemplazar el valor de la incógnita y resolver:

2(x+1)  =  8

2(x+1)  =  23

x  +  1 =   3

x  = 3 – 1

x = 2

Comprobación:

Se reemplaza el valor hallado en “x”. La igualdad debe cumplirse.

4(x+1)   +    2(x+1)   =  72

4(2+1)   +    2(2+1)    =  72

43    +  23   =   72

64   +  8  =   72

72     =    72

 

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