Ecuaciones literales

 

Una ecuación literal es aquella en la que una o más de las cantidades conocidas se representan mediante el uso de letras. Por lo general, dichas cantidades conocidas se representan con las primeras letras del alfabeto a, b, c... y las incógnitas con las letras finales x, y, z.

Ejemplo:

a + bx = dy

 En este ejemplo las letras a, b, d, son cantidades conocidas, mientras que x e y, representan las incógnitas de la ecuación.

Otro ejemplo de este tipo de ecuaciones, lo podemos encontrar en fórmulas de perímetros, áreas, volúmenes, etc. donde se haga uso de literales.

Para resolver estas ecuaciones se aplican las mismas reglas que se utilizan en la resolución de ecuaciones ordinarias:

Primero, se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.

Luego, se trasladan los términos, para agrupar en un miembro los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro, los términos que no contienen la incógnita y por lo tanto son conocidos (aunque estén expresados con letras).

En un tercer paso, lo prudente es reducir los términos semejantes en los dos miembros, para que sea más fácil el manejo de la incógnita.

Se despeja la incógnita. Para poder despejar la incógnita, es útil recordar que en una igualdad podemos hacer operaciones iguales a los dos miembros, sin alterar la igualdad.

x + 3 = 10

Para despejar la incógnita "x", debemos restar 3 a cada miembro de la igualdad:

x + 3 – 3 = 10 – 3

Para que de esta forma, quede:

x = 7

Esta regla se aplica a cualquiera de las operaciones que afecten a la incógnita:

Ejemplos:

a) 5x = 8x –15

Lo primero que debemos hacer es colocar en un miembro todos los términos que contengan la incógnita, es decir, restemos 8x a los dos miembros, para obtener:

5x – 8x = 8x – 8x –15

Al reducir términos semejantes, tendremos:

–3x = –15

Si multiplicamos los dos miembros por (–1), obtendremos:

(–3x)(–1) = (–15)(–1)

3x = 15

Si dividimos los dos miembros entre 3, nos resulta que:

x = 5 que es el único valor en que se cumple la igualdad


b) ax – ad + b –3c = bd

Comencemos por el lado derecho del primer miembro; sumemos 3c a cada uno de los miembros:

ax – ad + b – 3c + 3c = bd + 3c

que es lo mismo que:

ax – ad + b = bd + 3c

Ahora, restemos "b" en cada uno de los miembros para obtener:

ax – ad + b – b = bd + 3c –b

que es lo mismo que:

ax – ad = bd + 3c –b

Ahora, sumemos ad a cada miembro, para obtener:

ax – ad + ad = bd + 3c – b + ad

que es lo mismo que:

ax = bd + 3c – b + ad

Ahora hay que dividir a cada miembro entre "a", para que la incógnita "x" quede despejada. Todos los términos conocidos deben quedar en el segundo miembro, mientras que en el primer miembro sólo debe quedar la incógnita y, por lo tanto, se puede resolver fácilmente, si contamos con los valores de a, b, c y d.

En conclusión, para despejar una incógnita de una ecuación, debemos "pasar" de un miembro a otro los términos que no contengan a la incógnita, haciendo la operación contraria.

A continuación algunos ejercicios para practicar estos conceptos (mostramos los resultados para comparar).

Ecuación

Resultado

1) 4x + 1 = 2

x = 1/4

2) 5x + 6 = 10x + 5

x = 1/5

3) 21 – 6x = 27 – 8x

x = 3

4) 8x – 4 + 3x = 7x + x + 14

x = 6

5) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y

y = 3

6) 3x + 101 – 4x – 33 = 108 – 16x – 100

x=4

 

Ejemplo:

ax – ad = bd – bx

Solución:

ax + bx = bd + ad
x (a +b) = (b + a) d
x = d

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 12_2006


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