Sistemas de ecuaciones

 

Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones:

sistemas_ecuaciones017

forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El conjunto de ecuaciones:

sistemas_ecuaciones002

forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema.

Por ejemplo,

sistemas_ecuaciones003

es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2  (la  x  e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas.
El sistema de ecuaciones sistema_ecuaciones001 es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe).

Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí (tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales.

Resolviendo sistemas

Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:

Método de sustitución

Lo que debemos hacer:

1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

3.- Resolver la ecuación resultante.

4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.

Ejemplo:

Resolver

sistemas_ecuaciones004

          
Se despeja x en la segunda ecuación: 

x = 8 – 2y

Se sustituyen en la primera ecuación: 

3(8 – 2y) – 4y = – 6

Operando:

 24 − 6y − 4y = − 6

24 – 10y = – 6

− 10y = − 6 − 24

 − 10y = − 30

sistemas-ecuaciones005

Se resuelve:

y = 3

Se sustituye este valor en la segunda:

x  + 2(3) = 8

 x + 6 = 8

x = 8 – 6 = 2

Solución del sistema:

x = 2, y = 3

Método de reducción

Lo que debemos hacer:

1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo común de ambos.

2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.

3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.

4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.

5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.

Ejemplo:

Resolver

sistemas_ecuaciones006

Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x. Para hacerlo, amplificamos la primera ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí; o sea, hemos eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra  (la y).  Luego hacemos lo mismo con la y.


Se elimina la x

sistemas_ecuaciones007                

 

Se elimina la y:

sistemas-ecuaciones008

 

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 26_2010

Método de igualación

Lo que debemos hacer:

1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.

2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3.- Se resuelve la ecuación resultante.

4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo:

Resolver

sistemas_ecuaciones009
           
Despejamos x en la primera ecuación:

sistemas_ecuaciones010

Despejamos x en la segunda ecuación:

x = –1 – 2y

Igualamos ambas expresiones:

sistemas_ecuaciones011           
:Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:

 x = 3 + 2(−1)

x = 3 − 2

x = 1

Solución del sistema:

x = 1, y = –1

Otro ejemplo:

Resolver, por el método de igualación, el sistema

sistemas_ecuaciones012

Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

sistemas_ecuaciones013

Igualamos ambas expresiones:

sistemas_ecuaciones014
Luego, resolvemos la ecuación:

sistemas_ecuaciones015

Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

sistemas_ecuaciones016

Ver, en Youtube:

http://www.youtube.com/watch?v=Ez06kgBtuNI

Fuente Internet:

http://www.vitutor.com/ecuaciones/sistemas/reso_1.html

 

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