Amplificar y Simplificar fracciones

 

Amplificar

Es multiplicar el denominador y numerador de una fracción por un mismo número. Este número permite que la fracción aumente de valor tantas veces como veces se amplifica.

Por ejemplo, si la fracción se amplifica por dos, significa que aumentará su valor al doble.

Siempre que se amplifique una fracción se obtendrán fracciones equivalentes; es decir, fracciones que representan la misma cantidad.

Ejemplos:

Fracciones amplificadas por 3.

fraccion_amplificar001

 

Ver: PSU: Matemática: Pregunta 15_2005

Simplificar

Simplificar una fracción significa dividir por un mismo número tanto el numerador como el denominador, para que la fracción (mostrada ahora con números distintos pero menores) mantenga su proporcionalidad  (que su valor se mantenga).

Sólo se podrán simplificar fracciones cuando el  numerador y denominador sean divisibles por un número común.

Cada vez que se simplifique una fracción se debe llegar hasta la fracción irreductible, es decir, aquella fracción que no se puede simplificar más (achicar más).

Ejemplos:

fraccion_qmpificar002

Esta operación, después de ejercitarla y dominarla, normalmente se hace en forma rápida, directa y hasta intuitivamente. Pero para empezar a dominarla debemos considerar los siguientes pasos previos:   

Primero

En la simplificación  de fracciones, hay que tener en cuenta las reglas de divisibilidad, para saber cuándo un número es divisible por otro.

Reglas básicas de divisibilidad

Regla del 2. Si un número termina en 0, 2, 4, 6, 8 el número es divisible por 2.

Ejemplos: 42, 58, 12 son todos divisibles por 2 ya que terminan en 2 y en 8

Regla del 3. Si la suma de los dígitos es un múltiplo de 3, el número será divisible por 3.

Ejemplos:             21 = 2 + 1 = 3        ----->    3 x 7 = 21
                           27 = 2 + 7 = 9        ----->    3 x 9 = 27

                        102 = 1 + 0 + 2 = 3  ------>  3 x 34 = 102 

                       48  = 4 + 8 = 12       ------>  3 x 16 = 48

En estos casos,  21, 27, 102 y 48 son múltiplos de 3, así es que el número al que representan es divisible por 3.

Regla del 5. Si un número termina en 0 ó en 5 es divisible por 5.

Ejemplos:   45, 100 son divisibles por 5 ya que terminan en 5 y en 0.

Segundo

Dominadas las reglas de divisibilidad, debe aprenderse a realizar la factorización prima de un número para factorizar los componentes de la fracción, esto es factorizar tanto el numerador como el denominador de la fracción.

Factorización Prima

Un número es primo si es mayor que 1 y sus factores sólo son 1 y el mismo  número.

Ejemplos:  2, 5, 11  son números primos ya que los factores de cada uno son solo el 1 y el mismo número    (1 por 2 =2;    1 por 5 = 5;  1 por 11 = 11)

Entonces, tenemos que la factorización prima de un número  es el producto de todos los factores primos de un número.

Por ejemplo, hagamos la factorización prima de  12

12

2

El 12 (divisible por 2, pues termina en 2) lo dividimos por 2 y queda 6

  6

2

El 6  (divisible por 2, pues termina en 6) lo dividimos por 2 y queda 3

  3

3

El 3  (es número primo, pues es divisible solo por 1 y por 3) lo dividimos por 3

  1

   

Entonces, tenemos que los factores primos de 12 son  2 . 2 . 3

y vemos que 2 x 2 x 3 = 12

Ejemplo:

Simplificar la fracción:

fraccion_amplificar003

La factorización prima de 12 es 2· 2 · 3   y la de 36 es  2 · 2 · 3 · 3 

Eliminamos los factores comunes al numerador y al denominador y queda

fraccion_amplificar004

Ejercicio:

Simplificar fraccion_amplificar006

 

32

2

           .       

66

2

16

2

 

33

3

  8

2

 

11

11

  4

2

 

  1

 

  2

2

     

  1

       

Hacemos el cuadro como este y vemos que

los factores de 32 son  2 x 2 x 2 x 2 x 2

los factores de 66 son  2 x 3 x 11

Vemos que hay solo un factor 2 que es común,  lo eliminamos en ambos lados y queda

Para el numerador   2 x 2 x 2 x 2  = 16

Para el denominador  3 x 11  = 33

Por lo tanto, la fracción fraccion_amplificar006

Se convierte, simplificada, en   fraccion_ampificar007 

        

¿Queda más o menos claro cómo se simplifica una fracción?