Multiplicación de raíces

 

Multiplicación de raíces de igual índice


Según una propiedad de los radicales:

raiz_multipli01

Esto significa que si dos números están multiplicándose dentro de una raíz, se puede extraer la raíz de cada uno de ellos en forma separada y luego multiplicarlos; o también que si hay dos raíces de igual grado multiplicándose se pueden multiplicar los números y obtener la raíz después.

Ejemplo 1:

raiz_multipli02

Dentro de la raíz cuadrada tenemos una multiplicación (9x4), sacamos la raíz cuadrada a cada uno de los números para finalmente multiplicarlos.


Ejemplo 2:

raiz_multipli03

En este ejemplo, igual anotamos el radical en forma separada, pero como no es posible extraer la raíz exacta a ninguno de los nuevos radicales, lo más conveniente es multiplicar las bases (12 x 3) primero y luego sacar la raíz cuadrada al resultado.

Veamos otros ejemplos a modo de práctica:

Ejemplo 3:
Calcular el producto de raiz_multipli04

raiz_multipli05

En este caso vemos que aparecen números fuera del signo radical (fuera de la raíz), entonces, lo primero que hacemos es multiplicar las cantidades que están fuera de las raíces (5 x 3) ya que todas tienen el mismo índice. Luego multiplicamos las cantidades bases (subradicales o radicandos, como quieran llamarlas) (18 x 8 = 144), y si se puede extraemos el valor de la raíz  raiz_multipli06para colocarlo, multiplicando (15 x 12),  fuera del signo radical.

Ejemplo 4:
Calcular el producto de raiz_multipli07

raiz_multipli08

Para multiplicar un número por una suma, se multiplica cada sumando por ese número.
En este caso, multiplicamos raiz_multipli09 por cada número que se halla dentro del paréntesis. Dejamos la misma raíz y multiplicamos las bases o radicandos. Después, extraemos las raíces que podamos.

Ejemplo 5:
Calculemos raiz_multipli10

raiz_multipli11


Para tener en cuenta:

Al multiplicar lo que está fuera del paréntesis por cada término dentro de él, tenemos que tener en cuenta que si hay números fuera de las raíces los multiplicamos lo mismo que los radicandos.

Nota Importante:

No debemos olvidar que solo podemos sacar fuera de las raíces números que estén dividiendo o multiplicando. Si los números suman o restan no pueden sacarse fuera del símbolo radical.

Por ejemplo: Para calcular raiz:multipli12 no debemos encontrar la raíz cuadrada de 16 y luego la raíz cuadrada de 4 para sumarlas, no está permitido. En este caso, como es una suma, debemos obligadamente ejecutar la suma y en este resultado extraer la raíz cuadrada (si es posible hacerlo).

Entonces:

raiz_multipli13


Multiplicación de raíces de distinto índice

Para realizar una multiplicación de radicales que tengan distinto índice es obligatorio reducir esos índices distintos a un índice común (igual para todos los radicales).

 

Reducción de radicales a índice común

¿Cómo hacerlo?

El primer paso es hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices, que será el índice común.

Luego, dividimos ese índice común por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Veamos un ejemplo:

Si tuviésemos que multiplicar entre sí las cantidades siguientes:

raiz_multipli14

La primera raíz tiene índice 2; la segunda, 3, y la tercera, 4. Entonces tenemos que encontrar el m.c.m. entre 2, 3 y 4, que resulta ser 12. Dividimos 12 por cada índice y el resultado de cada división lo multiplicamos por cada uno de los exponentes de las cantidades bases o radicandos; de la siguiente manera:

12 ÷ 2 (2 es el índice de la primera raíz) = 6, este 6 lo multiplicamos por 1 (1 es el exponente) y nos queda

raiz_multipli15

Después, 12 ÷ 3 (3 es el índice de la segunda raíz) = 4, este 4 lo multiplicamos por 2 en cada uno de los multiplicandos que hay dentro del raíz (ambos tiene exponente 2) y nos queda

raiz_multipli16

En seguida, hacemos 12 ÷ 4 (4 es el índice de la tercera raíz) = 3, este 3 lo multiplicamos por 2 (exponente del primer multiplicando dentro de la raíz) y por 3 (exponente del segundo multiplicando dentro de la raíz) y nos queda

raiz_multipli17

Ahora podemos hacer la operación, teniendo tres raíces con igual índice (12):

Veamos otro ejemplo:

Si tenemos raiz_multipli19  el m.c.m. entre 2, 3 y 4 es 12

Entonces:

raiz_multipli10

Otro ejemplo:

raiz_multipli21 m.c.m. de 2 y 3 es = 6, que se convierte en el índice común.
Hacemos 6 ÷ 2 = 3 x 1 = 3,  para que tengamos raiz_multipli22
Y hacemos 6 ÷ 3 = 2 x 1 = 2, para que tengamos raiz_multipli23

Y ahora tenemos:

raiz_multipli24

Nótese que después de llevar las raíces a un índice común (6), factorizamos las bases o radicandos (12 = 22 x 3) y (36 = 22 x 32) y para llegar al resultado final sacamos afuera del signo radical un 2 (obtenido de 210 y dejando 24dentro del signo radical), y un 3 (obtenido de 37 y dejando 3 dentro del signo radical).

Ejercicios de multiplicación de radicales

Ejercicio 1)

raiz_multipli25

 

raiz_multipli26

 

Ejercicio 2)

raiz_multipli27

Ver: PSU: Matemáticas, Pregunta 19_2010
 
Fuentes Internet:

http://www.aulafacil.com/matematicas-potencias-raices/curso/Lecc-11.htm

http://www.aulafacil.com/matematicas-potencias-raices/curso/Lecc-9.htm

http://www.vitutor.net/2/4/5.html

 

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