Dominio (preimágenes) y recorrido (imágenes) de una función

Conceptos básicos:

En una función cuadrática:

Dominio = lo forman las preimágenes (los valores de x) o valores de entrada.

Imagen = es el resultado para y ( o f(x), que es lo mismo), o valores de salida, según sea el valor de x (las imágenes forman el recorrido).

Ejemplo:

Dada la función

f(x) = x2 – 6x + 7

¿cuál es la imagen de 7?

Significa que se pide encontrar la imagen (un resultado para y) de una preimagen (un valor de x conocido) que es 7.

O sea que x vale 7 y se debe hallar un resultado para f(x)  o  ye:

f(x) = 72 – 6(7) + 7

f(x) = 49 – 42 + 7

f(x) = 14

Respuesta:  la imagen de 7, en la función dada, es 14.

En palabras simples: el resultado o valor de la función, cuando x (la preimagen) vale 7, es 14.

Ahora, dada la misma función

f(x) = x2 – 6x + 7

Si preguntan ¿cuál es la preimagen de 14?

Significa que 14 es una imagen; o sea, un resultado (el valor de f(x)). Y para haber llegado a él hay una imagen previa, un valor previo, que sería el valor de x, y que se debe calcular.

Entonces

f(x) = x2 – 6x + 7

es

14  = x2 – 6x + 7   y debemos calcular x.

 x2 – 6x + 7 – 14 = 0

x2 – 6x  – 7 = 0

Si desarrollamos la ecuación cuadrática, usando la fórmula general, veremos que x puede valer  7  y  –1.

Respuesta: la preimagen de 14 puede ser 7   o –1

En palabras simples, si el resultado de una función  (imagen o  valor de  y) es 14, significa que x (la preimagen del dominio) puede valer 7  o  –1.

El siguiente cuadro puede aclarar la idea

Rango o Recorrido

 

Dominio

Imágenes o
f(x)
y (ye)

Regla
o
Condición

Preimágenes
o
valores de x

14

x2 – 6x + 7

7

7

x2 – 6x + 7

6

2

x2 – 6x + 7

5

-1

x2 – 6x + 7

4

14

x2 – 6x + 7

 –1

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Función: imagen y preimagen