Fracciones algebraicas

 

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.

Son fracciones algebraicas:

fraccion_algebraica_001


Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.

El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.

Por ejemplo:

Si  fraccion_alegraica_003 se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta: 

fraccion_alebraica_004

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.

Operaciones con fracciones algebraicas

Simplificar fracciones algebraicas

La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.

Por ejemplo, simplificar:

fraccion_algebraica_002

Otro ejemplo, simplificar la fracción

fraccion_algebraica_005

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar

fraccion_algebraica_006

Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.

Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de  fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.

Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador

Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:

fraccion_algebraica_007


Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.

Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda

fraccion_algebraica_008


Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Veamos el siguiente ejemplo:

fraccion_algebraica_009

Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común. 

Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.).

Para calcular el m.c.m. factorizamos

5ab a2 15b2   a
5b a 15b2   a
5b 1 15b2   b
5 1 15b   b
5 1 15   5
1 1 3   3
1 1 1  

 

Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b2 • 15 que es lo mismo que 15a2b2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.

Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:

Previamente, dividimos el denominador común (15a2b2) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:

fracciones_algebraicas_010

Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:

Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

fraccion_algebraica_011


Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior. 

Un ejemplo más:

Sumar fraccion_alegeraica_012


El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x  − 3)

Hacemos

fraccion_algebraica_013

¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:

Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos qué significa esto:

Sea fraccion_algebraica_014  una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra fraccion_algebraica_015, entonces: fraccion_algebraica_016  

Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas

Multiplicar

fraccion_algebraica_017

 Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:

fraccion_algebraica_018

Simplificamos antes de efectuar el producto:

fraccion_algebraica_019

Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

fraccion_algebraica_020

Ejemplos desarrollados

a) fraccion_algebraica_021


b) fraccion_algebraica_022

 

c)fraccion_algebraica_023

Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables.

Cociente o división de fracciones algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos, ahora qué significa esto:

Sea fraccion_algebraica_014 una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra fraccion_algebraica_015, entonces: 

fraccion_algebraica_024

Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas

Dividir

fraccion_algebraica_025

Anotamos haciendo el producto cruzado:

fraccion_algebraica_026

Simplificamos y finalmente multiplicamos:

fraccion_algebraica_027

Ejemplos desarrollados

a) fraccion_algebraica_028

b) fraccion_algebraica_029

c) fraccion_algebraica_030

Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).

d) fraccion_algebraica_031
 
Fracciones algebraicas compuestas

En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas.

Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador. 

La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.

Ejemplos:

1) fraccion_algebraica_032


2) fraccion_algebraica_033


3) fraccion_algebraica_034

 

Ver: PSU: Matematica

Pregunta 01_2010

Pregunta 18_2010

Pregunta 25_2010

Pregunta 12_2005

Fuentes Internet:

http://www.geolay.com/pagehtm/algeb03.htm

http://www.geolay.com/index.htm

http://www.geolay.com/guias/fracciones%20algebraicas.pdf

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Fracciones_algebraicas

 

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