Resolución de ecuaciones

 

Una ecuación puede compararse con una balanza de platillos. Para mantener el perfecto equilibrio es necesario tener la misma masa en ambos lados. Si se aumenta la masa en el platillo de la izquierda, la balanza se inclinará hacia la izquierda, por lo tanto, para mantenerla equilibrada será necesario aumentar a la derecha la misma cantidad de masa.

Si, por el contrario, la masa disminuye, también habrá que disminuir la misma cantidad de masa en el otro platillo de la balanza.

Este ejemplo aplicado a una ecuación indica que si se agrega (suma) un número a la derecha, también es necesario sumar el mismo número a la izquierda para mantener la igualdad y si se resta, debe hacerse lo mismo a ambos lados.  Lo mismo ocurre al multiplicar o dividir (Ver: Propiedades).

Debemos saber que existen ecuaciones de dos tipos: ecuaciones aditivas y ecuaciones multiplicativas.

· Las  ecuaciones aditivas  tienen la forma   a + x = b

· Las  ecuaciones multiplicativas  tienen la forma   a · x = b

1)     Ecuaciones aditivas: a + x = b

Para resolver ecuaciones de la forma a + x = b se utiliza la Propiedad 1 antes mencionada; es decir, se usa la propiedad de las igualdades, que textualmente dice:

 

Cuando se suma o resta el mismo número en ambos miembros de una ecuación, la igualdad se mantiene.

 

Los pasos a seguir para encontrar la incógnita son los siguientes:

1. Se suma a ambos lados de la ecuación el inverso aditivo del número que suma o resta a la incógnita. Recordar que el inverso aditivo de un número es el mismo número con signo contrario (el inverso aditivo de 6 es –6; el inverso aditivo de –99 es 99. Recuerda además que +99 es lo mismo que 99).

2. Se realiza la operación indicada.

Ejemplo:                   28 + x = 13   / 28

El número que acompaña a la incógnita sumándolo es 28, por lo tanto, se debe agregar a ambos lados de la ecuación su inverso aditivo que es –28.

                  28 + x + 28 = 13 + 28

Como 28 y –28 tienen signo contrario entre sí, la regla de signos indica que deben restarse.

                  28 + –28 = 0

Como 13 y –28 son números de distinto signo, éstos se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto (el número sin signo).

                 13 + –28 = –15

Por lo tanto, después de realizar las operaciones indicadas más arriba, se tiene que: 

                  28 + x = 13     /  28

           28 + x +28= 13 + 28

                    x + 0  =  –15

                            x =  –15

Otros ejemplos:

           1)      60 – 37  =   84 + x

                     23         =   84 + x    /   84

               23 + 84     =   84  + x + 84

                    –61        =    0 + x

                                x  = –61

          2)       x + 3 – 2 =  7        

                          x + 1 =  7         

                x + 1 + –1  =   7 + -1  /  –1           

                       x + 0  =  6

                             x   =   6

2) Ecuaciones multiplicativas: a • x = b

 Para resolver ecuaciones de la forma  a · x = b se aplica la propiedad de las igualdades, que dice textualmente:

 

Si se multiplica o divide por un mismo número a ambos lados de la igualdad, ésta se mantiene.

 

Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número.

Los pasos son los siguientes:

1) Se divide siempre por el número que multiplica a la “x”. (Al dividir se utiliza el inverso multiplicativo del número).

Ejemplo:    15 x   =   75  /  :15   (es lo mismo que multiplicar ambos miembros por 1/15, que es el inverso multiplicativo de 15)

15 x : 15   =   75  :  15

2) Se realizan las operaciones matemáticas correspondientes.

Reordenado los números se tiene:    15 : 15 x  =   75  : 15

                                                                   1 x     =    5

                                                                        x     =     5

 Otro ejemplo:    

                                                      3 x   =   81

                                                      3 x  =    81  /  :3

                                                 3 x : 3  =    81  :  3

                                                 3 : 3 x  =    27

                                                     x   =    27

                                                          x   =    27

¿Qué sucede si se combinan ambos tipos de ecuaciones: aditiva y multiplicativa ?

Ejemplo:                              2x  +  2  +  3  =   4x  –  1

Para resolver este tipo de ecuación, lo primero que debe hacerse es efectuar las operaciones entre términos semejantes en ambos miembros de la ecuación; es decir, a la izquierda y a la derecha.

Esto significa sumar números con números  y factores literales con factores literales (letras iguales, exponentes  iguales); en este ejercicio esto significa sumar los números con los números y las “equis” con las “equis”. En el caso particular de nuestro ejemplo, a la izquierda se  pueden sumar los números 2 y 3 solamente, pues no hay más términos semejantes

                                    2x   +   5    =    4x   –   1   /   –5

A continuación se debe sumar a ambos lados de la ecuación el inverso aditivo del número que suma o resta a la incógnita, en este caso se debe sumar el inverso aditivo de 5 (-5) a la izquierda y a la derecha de la igualdad.

                      2x    +   5  + –5   =    4x   -  1  + –5

                                2x  +   0     =    4x    +    –6

                                         2x     =    4x    +   –6

Luego, debe sumarse el inverso aditivo de 4x para lograr que el número 4x que está a la derecha quede a la izquierda de la ecuación; de esta forma los dos números con “equis” podrán reducirse.

                                        2x     =   4x    +  –6  / 4x

                             2x  + 4x  =   4x    +  –6   + 4x

                                     – 2x   =   4x    +   4x   + –6

                                     2x      =    0  +  –6

                                   2x       =  –6  

Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número, en este caso se debe dividir por 2. Fíjate que la ecuación es ahora multiplicativa, por lo tanto se usa el método par resolver ecuaciones multiplicativas (por eso se divide por –2).                       

                            2x  : 2  =  –6  : 2

                                 1x      =      3

                                     x    =    3 

Otro ejemplo:

                     5x – 3  =  2x + 6 

1)   Se   suman o restan números con números y  letras con letras en cada miembro de la ecuación. Como no hay términos semejantes en este caso, se continúa con el segundo paso.

                   5x – 3 + +3  =  2x  + 6 + +3    / +3

                            5x + 0 =  2x  +  9

2)   Sumar el inverso aditivo (sumar a ambos lados de la ecuación el número que resta o suma a la “x”)

                  5x    =  2x  +  9   

       Ahora falta sumar el inverso aditivo de 2x (-2x)

  5x + 2x     =  2x + 2x + 9  /–2x

             3x   =   0 + 9

                  3x   =   9   

3)  Dividir a ambos lados de la ecuación por el número que acompaña a la incógnita (3). Inverso  multiplicativo.

            3x  ÷ 3   =    9 ÷ 3

3  ÷ 3x      =   9  /  3  (Recuerda que el símbolo de división, ÷,  también   se puede representar como /).

      x       =    3      

Nota: Todas las ecuaciones vistas hasta ahora son de Primer Grado (el exponente de la incógnita es 1) y pertenecen al Conjunto de los Números Enteros (los coeficientes numéricos son números positivos y negativos). Más adelante se estudiará la forma de resolver ecuaciones en el Conjunto de los Números Racionales.

Ver: Resolución de ecuaciones de primer grado

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