Ecuaciones de primer grado o lineales

 

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:

1.  Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2.  Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

3.  Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4.  Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

   2x – 3 + 3 = 53 + 3

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:

    2x = 53 + 3

    2x = 56

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

   2x • ½   =  56 • ½

Simplificamos y tendremos ahora:

   x = 56 / 2

   x = 28

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

Ver: PSU: Matemática,

Pregunta 16_2010

Pregunta 08_2005

Pregunta 14_2005

Pregunta 05_2006

Pregunta 07_2006

Pregunta 10_2006

Pregunta 12_2006

 

Ver: Resolución de ecuaciones

Resolvamos otros ejemplos:

ecuacion_prim_grado001

 

ecuacion_prim_grado002

Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).

ecuaicon_prim_grado003

Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.

ecuacion_prim_grado004

Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

 

ecuacion_prim_grado005

 

ecuacion_prim_grado006

(pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiado el signo 8x pasa como – 8x)

ecuacion_prim_grado007

(redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = – 3x)

ecuacon_prim_grado008

(dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x”)

ecuacion_prim_grado009

(– 15 dividido – 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un número negativo, el resultado es positivo)

 

ecuacion_prim_grado010

 

ecuacion_prim_grado011

(pasamos a la derecha los términos conocidos, en este caso sólo +1 que pasa como – 1)

ecuacion_prim_grado012

(reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1)

ecuacion_prim_grado013

(dividimos ambos términos por 4 para que, al simplificar  4/4 quede la x sola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derecha como divisor el 4 que en la izquierda está multiplicando.

ecuacion_prim_grado014

 

 

ecuacion_prim_grado015

 

ecuacion_pri9m_grado016

 

ecuacion_prim_grado017

 

ecuacion_prim_grado018

 

ecuacion_prim_grado019

 

      

ecuacion_prim_grado020

 

ecuacion_prim_grado021

 

ecuacion_prim_grado022

 

 ecuacion_prim_grado023

 

   

ecuacion_prim_grado024

 

ecuacion_prim_grado025

 

ecuacion_prim_grado026

 

ecuacion_prim_grado027

(léase, menos un tercio). La fracción es negativa pues se divide un positivo, el 1, con un negativo, el – 3.

Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signos

Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones.

Veamos el siguiente ejemplo:

ecuacion_prim_grado028

 

029

Primero quitamos los paréntesis.

030

Reducimos términos semejantes.

031

Ahora quitamos los corchetes.

032

Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

033

Nuevamente reducimos términos semejantes

034

Despejamos x pasando a dividir a – 2, luego simplificamos.

 

Advertencia

Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que:

a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupación no afecta en nada a lo que esté dentro de este signo. Por ejemplo:     +(3x – 5) = 3x – 5

b) Si por el contrario, tenemos un signo – antes del signo de agrupación, este signo afectará a todo lo que esté dentro del signo. Todos los términos dentro del signo de agrupación cambiarán de signo. Por ejemplo:     –(3x – 5) = – 3x + 5

Resolución de ecuaciones con productos incluidos

Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).

Observemos un ejemplo:

035

 

036

Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los paréntesis.

037

Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas.)

038

Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad.

039

Despejamos x pasando 3 a dividir.

Resolución de problemas mediante ecuaciones

Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).

Veamos un problema característico:

Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?

Digamos que las edades de los tres son:

x         edad de Pedro
y         edad de Álvaro
z         edad de María

Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años menor que Álvaro):

y = x + 3

También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7 años mayor que María):

z = x – 7

Ahora tenemos que:

edad de Pedro:      x

edad de Álvaro:     x +3

edad de María:      x – 7

La suma de las tres edades es 38:

x + x +3 + x – 7 = 38

Resolviendo está última ecuación tendremos:

x = 14 (esta es la edad de Pedro)

Finalmente:

edad de Pedro:      x         = 14 años

edad de Álvaro:     x + 3   =  17 años

edad de María:      x – 7    =  7 años

Ver: Ecuaciones: Ayuda para resolver problemas

Ver: Clasificación de ecuaciones lineales o de primer grado

Ver: PSU: Matemática,

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 07_2006

Ejercicios en Internet:

http://www.ematematicas.net/ecuacion.php

http://www.vitutor.com/ecuaciones/1/e_e.html

En forma de problemas

http://www.vitutor.com/ecuaciones/1/p_e.html

Explicaciones en Youtube

http://www.youtube.com/watch?v=NDEwNJ7M0eY

http://www.youtube.com/watch?v=7EPRLFA3faA

Ejercicios resueltos de Baldor, en:

http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm

 

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