​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

Multiplicar expresiones algebraicas racionales (con fracciones)

Repaso de conceptos

Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan o relacionan letras, números y signos de operaciones de suma, resta, multiplicación y división y también potencias, radicales y logaritmos.

Por ejemplo,

Suma de cuadrados: a 2 + b 2

Triple de un número menos doble de otro: 3x - 2y

Suma de varias potencias de un número: a 4 + a 3 + a 2 + a

Multiplicación de radicales: expresiones_multiplicat_001

Si dos o más expresiones algebraicas están unidas con un signo más (+) o un signo menos (-) cada una recibe el nombre de término . Ahora, si dos o más expresiones algebraicas están unidas por una multiplicación cada una recibe el nombre de factor .

Veamos esto:

4ac es una expresión algebraica

(a + b) (a – b) es otra expresión algebraica

si las sumamos

4ac + (a + b)(a – b)

4ac pasa a ser el primer término y (a + b)(a – b) pasa a ser el segundo término .

Aquí vemos que el primer término es una multiplicación entre tres factores : el 4, una a y una c.

Y que el segundo término es una multiplicación entre dos factores: (a + b) por (a – b)

También debemos recordar que un término puede constar de las siguientes partes:

Una parte literal : representada por una o varias letras

Un coeficiente : valor que precede a la parte literal

Un exponente : que indica las veces que se multiplica por sí misma la parte literal .

Por ejemplo, en expresiones_multiplicar_002

la x es la parte literal

el menos 2 es el coeficiente y

el 3 representa las veces que la parte literal se multiplica por sí misma (potencia).

Recordemos, además, que las expresiones algebraicas se clasifican, según su número de términos, en:

monomio , si tiene un solo término

binomio , si tien dos términos

trinomio si tiene tres, y, en general,

polinomio , si tiene más de dos.

Multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias (racionales)

Entrando en materia, al comienzo hablamos de expresiones algebraicas racionales , que son aquellas en las cuales dos expresiones algebraicas forman una fracción (división, cociente o razón).

Por ejemplo:

expresiones_multiplicar_003

Para resolver multiplicaciones con expresiones racionales (que involucren fracciones) debemos tener en cuenta lo siguiente:

-  Toda fracción consta de numerador (el número de arriba) y denominador (el número de abajo).

- Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

- Respetar la regla de los signos para la multiplicación.

- Multiplicar entre sí los coeficientes numéricos y entre sí las letras iguales (la parte literal).

-  Encontrar o visualizar los factores adecuados para realizar una factorización conveniente, que nos permita luego

- Simplificar o reducir las fracciones a su mínima expresión.

-  Reordenar finalmente el numerador y el denominador respetando la secuencia de números y letras (a, b, c, etc.).
Para intentar una mayor comprensión, resolvamos los ejemplos:


Ejemplo 1 :


expresiones_multiplicar_004


Resolvemos en único paréntesis que tenemos en la expresión:


expresiones_multipicar_005


Y la multiplicación nos queda así:


expresiones_multiplicar_006


Multiplicamos los numeradores entre sí  y los denominadores entres sí


expresiones_multiplicar_007


Factorizamos , para poder simplificar hasta donde sea posible:


expresiones_multiplicar_008


Simpliicamos, eliminando el binomio que se repite en el numerador y el denominador (en rojo), para quedar el resultado


expresiones_multiplicar_009


Otra forma sería partiendo por factorizar el primer numerador (3x – 3), para dejar la multiplicación así:


expresiones_multipicar_010


Simplificamos, eliminando el (x – 1) del numerador de la primera fracción y el (x – 1) del denominador de la segunda,


expresiones_multiplicar_011


para quedar:


explresiones_multiplicar_012


Simplificamos el resultado


expresiones_multiplicar_013


Y obtenemos el mismo resultado.


Este resultado es correcto para cualquier número que sea mayor que 1.


Ejemplo 2


expresiones_multiplicar_014


Veamos el camino más corto:

Factorizamos donde es posible hacerlo (marcado en rojo):


expresiones_multiplicar_015


Y simplificamos


expresiones_multiplicar_016


También pudimos hacerlo más largo:

Multiplicamos los numeradores entre sí  y los denominadores entres sí


expresiones_multiplicar_017


Factorizamos el resultado último y simplificamos:


expresiones_multiplicar_018


Ejemplo 3


expresiones_multiplicar_019


Factorizamos lo que sea posible factorizar (en rojo):


expresiones_multiplicar_020


Ahora podemos simplificar los términos semejantes que haya (en azul):


exoresiones_multiplicfar_021


En seguida, multiplicamos numerador con numerador y denominador con denominador:


expresiones_multiplicar_022


y como el  (1)  no se coloca, el resultado final queda


expresiones_multiplicar_023


Generalmente se deja expresada la multiplicación, como en este caso del denominador,  el cual queda factorizado.

Se debe anotar que este resultado solo es válido si x es distinto a 3, ya que si x = 3 tendríamos 3 -3 = cero, y sabemos que todo lo multiplicado por cero es igual a cero.


Ejemplo 4


expresiones_multiplicar_024


expresiones_multiplicar_025

Hay que hacer notar que el resultado solo es posible siempre que x sea distinto a 1 y a 5 .

¿Qué hicimos?

Factorizamos todo lo que se podía factorizar,  simplificamos todo lo que se podía simplificar y multiplicamos numerador con numerador y denominador con denominador (este útimo da uno , que no se coloca).

Materias