Multiplicar expresiones algebraicas racionales (con fracciones)

 

Repaso de conceptos

Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan o relacionan letras, números y signos de operaciones de suma, resta, multiplicación y división y también potencias, radicales y logaritmos.

Por ejemplo,

Suma de cuadrados: a2 + b2

Triple de un número menos doble de otro: 3x - 2y

Suma de varias potencias de un número: a4 + a3 + a2 + a

Multiplicación de radicales: expresiones_multiplicat_001

Si dos o más expresiones algebraicas están unidas con un signo más (+) o un signo menos (-) cada una recibe el nombre de término. Ahora, si dos o más expresiones algebraicas están unidas por una multiplicación cada una recibe el nombre de factor.

Veamos esto:

4ac es una expresión algebraica

(a + b) (a – b) es otra expresión algebraica

si las sumamos

4ac + (a + b)(a – b)

4ac pasa a ser el primer término y (a + b)(a – b) pasa a ser el segundo término.

Aquí vemos que el primer término es una multiplicación entre tres factores: el 4, una a y una c.

Y que el segundo término es una multiplicación entre dos factores: (a + b) por (a – b)

También debemos recordar que un término puede constar de las siguientes partes:

Una parte literal: representada por una o varias letras

Un coeficiente: valor que precede a la parte literal

Un exponente: que indica las veces que se multiplica por sí misma la parte literal .

Por ejemplo, en expresiones_multiplicar_002

la x es la parte literal

el menos 2 es el coeficiente y

el 3 representa las veces que la parte literal se multiplica por sí misma (potencia).

Recordemos, además, que las expresiones algebraicas se clasifican, según su número de términos, en:

monomio, si tiene un solo término

binomio, si tien dos términos

trinomio si tiene tres, y, en general,

polinomio, si tiene más de dos.

Multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias (racionales)

Entrando en materia, al comienzo hablamos de expresiones algebraicas racionales, que son aquellas en las cuales dos expresiones algebraicas forman una fracción (división, cociente o razón).

Por ejemplo:

expresiones_multiplicar_003

Para resolver multiplicaciones con expresiones racionales (que involucren fracciones) debemos tener en cuenta lo siguiente:

-  Toda fracción consta de numerador (el número de arriba) y denominador (el número de abajo).

-  Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

- Respetar la regla de los signos para la multiplicación.

- Multiplicar entre sí los coeficientes numéricos y entre sí las letras iguales (la parte literal).

-  Encontrar o visualizar los factores adecuados para realizar una factorización conveniente, que nos permita luego

Simplificar o reducir las fracciones a su mínima expresión.

-  Reordenar finalmente el numerador y el denominador respetando la secuencia de números y letras (a, b, c, etc.).
Para intentar una mayor comprensión, resolvamos los ejemplos:


Ejemplo 1:


expresiones_multiplicar_004


Resolvemos en único paréntesis que tenemos en la expresión:


expresiones_multipicar_005


Y la multiplicación nos queda así:


expresiones_multiplicar_006


Multiplicamos los numeradores entre sí  y los denominadores entres sí


expresiones_multiplicar_007


Factorizamos, para poder simplificar hasta donde sea posible:


expresiones_multiplicar_008


Simpliicamos, eliminando el binomio que se repite en el numerador y el denominador (en rojo), para quedar el resultado


expresiones_multiplicar_009


Otra forma sería partiendo por factorizar el primer numerador (3x – 3), para dejar la multiplicación así:


expresiones_multipicar_010


Simplificamos, eliminando el (x – 1) del numerador de la primera fracción y el (x – 1) del denominador de la segunda,


expresiones_multiplicar_011


para quedar:


explresiones_multiplicar_012


Simplificamos el resultado


expresiones_multiplicar_013


Y obtenemos el mismo resultado.


Este resultado es correcto para cualquier número que sea mayor que 1.


Ejemplo 2


expresiones_multiplicar_014


Veamos el camino más corto:

Factorizamos donde es posible hacerlo (marcado en rojo):


expresiones_multiplicar_015


Y simplificamos


expresiones_multiplicar_016


También pudimos hacerlo más largo:

Multiplicamos los numeradores entre sí  y los denominadores entres sí


expresiones_multiplicar_017


Factorizamos el resultado último y simplificamos:


expresiones_multiplicar_018


Ejemplo 3


expresiones_multiplicar_019


Factorizamos lo que sea posible factorizar (en rojo):


expresiones_multiplicar_020


Ahora podemos simplificar los términos semejantes que haya (en azul):


exoresiones_multiplicfar_021


En seguida, multiplicamos numerador con numerador y denominador con denominador:


expresiones_multiplicar_022


y como el  (1)  no se coloca, el resultado final queda


expresiones_multiplicar_023


Generalmente se deja expresada la multiplicación, como en este caso del denominador,  el cual queda factorizado.

Se debe anotar que este resultado solo es válido si x es distinto a 3, ya que si x = 3 tendríamos 3 -3 = cero, y sabemos que todo lo multiplicado por cero es igual a cero.


Ejemplo 4


expresiones_multiplicar_024


expresiones_multiplicar_025

Hay que hacer notar que el resultado solo es posible siempre que x sea distinto a 1 y a 5.

¿Qué hicimos?

Factorizamos todo lo que se podía factorizar,  simplificamos todo lo que se podía simplificar y multiplicamos numerador con numerador y denominador con denominador (este útimo da uno, que no se coloca). 

 

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