Potencias

 

Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.

  Exponente

Se puede leer:

tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta

3 . 3 . 3 . 3 = 34  
  Base

 

El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia  2 6 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).

Ejemplos: 

2 5   =  2 • 2 • 2 • 2 • 2 =  32    El exponente es 5, esto  significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.

3 2 = 3 • 3 =  9                      El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.

5 4 =  5 • 5 • 5 • 5  =  625       El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.

Una potencia puede representarse en forma general como:

 an  =  a • a • a • ........

 

Donde:     a = base     n = exponente                          “ n” factores iguales

Finalmente, recuerda que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número.

Potencia de base entera y exponente natural

Si la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros ( a Pertenece a Z ) (léase a pertenece a zeta) significa que puede tomar valores positivos y negativos. Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales, significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3, .....).

Potencia de base entera positiva:

Si la base a es positiva, la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.

 

(+a) n   =  +a n

Ejemplos:   

               (+4) 3   =   43   =  4 • 4 • 4  =  64  =  + 64                    Exponente impar

              (+3) 4  =   34  =  3 • 3 • 3 • 3  =  81  =  +81                   Exponente par

Potencia de base entera negativa:

Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.

a) Si el exponente es  par, la potencia es positiva.

(_ a) n  (par)   =   +a n

Ejemplos:

                  (_5) 2  =  _5 • _5  =  +25  =  25                                    _ · _  =  +

              (_2) 8  =  _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2  =  +256  =  256

b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa.

(_a) n (impar)  _a n

Ejemplos:

              (_2)_2 • _2 • _2  =  _8

              (_3) _3 • _3 • _3  =  _27

En resumen:

Base

Exponente

Potencia

Positiva

Par

Positiva

Positiva

Impar

Positiva

Negativa

Par

Positiva

Negativa

Impar

Negativa

Multiplicación de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base.

potencias007

Ejemplos:

1) potencias008

2) potencias09

3) potencias010

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 01_2005

División de potencias de igual base

Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.

potencias006

Ejemplos:

1) potencias003

2)potencias004

3)potencias005

Multiplicación de potencias de igual exponente

Se multiplican las bases y se conserva el exponente.

potencias001

Ejemplo:

potencias011

División de potencias de igual exponente

Se dividen las bases y se conserva el exponente

potencias002

Ejemplo:

potencias012

Potencia elevada a potencia

Se eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

potencia013

Ejemplos:

1) potencias014

2) potencias015

Potencia de base racional y exponente entero

Sea la base Potencia022 (fracción) perteneciente al conjunto de los Números Racionales (Potencias023 Pertenece aQ ), donde a es el numerador y b el denominador distinto de cero, y el exponente pertenece a los números enteros (n Pertenece a Z).  Para elevar una fracción a potencia se elevan por separado numerador y denominador.

Potencia026

Ejemplos:

1)     Potencia028

2)     Potencia030

3)     Potencia032

 

Potencia de exponente negativo

Si Potencia033 es un número racional y – n un número entero, entonces se tiene,

Potencia036 Si el exponente es negativo el numerador se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo.

Ejemplos:

1)     Potencia038

2)      Potencia040

3)      Potencia042

 

Ver: Suma y resta de potencias

Ver: PSU: Matemática,

Pregunta 20_2010

Pregunta 21_2010

Pregunta 29_2010

Pregunta 04_2006

Pregunta 01_2007

Pregunta 02_2007

Ver Cuadro sinóptico para resolver ejercicios de potencias y Ver Potencias de 10

Ir a Ejercicios sobre potencias

Ver, además, en Internet:

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/programa/unidad1.htm