El rectánglo áureo de Euclides


Para entender de qué se trata este tema, veamos la figura siguiente:

numero_aureo007

Como ya vimos lo que es la proporción áurea , visitemos a Euclides , el famoso matemático y geómetra griego, quien a partir del cuadrado ABCD (de la figura) obtiene geométricamente el rectángulo áureo AEFD . El rectángulo BEFC es, asimismo, áureo.

El rectángulo AEFD también es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides logra su construcción de este modo:

Se marca G en el centro del lado superior del cuadrado cuyo lado mide 2 (queda dividido en dos segmentos de valor 1 cada uno).

Con centro en G y radio GC se obtiene el punto E, y, por lo tanto:

numero_aureo007 (valor de la hipotenusa del triángulo GBC, de lados 1 y 2)

Ver: Raíz cuadrada de cinco

con lo que resulta evidente que

numero_aureo008

donde, finalmente, reemplazando llegamos a

numero_aureo009

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes , de modo que este último es asimismo un rectángulo áureo .

Ejemplo y comprobación matemática

Veamos ahora la comprobación u obtención matemática del valor del segmento desconocido, el cual nos hará cumplir con la proporción en el rectángulo:

Tenemos un cuadrado de 2 x 2 (ABCD arriba en la figura) y queremos obtener el rectángulo áureo a partir de este.

Tenemos la fórmula conocida de la proporción áurea:

numero_aureo010

Recuerde que su valor es 1,618

Hacemos, entonces

numero_aureo011

proporción áurea, donde x es el segmento desconocido (b) y 2 es el segmento conocido (a)

Resolvemos la ecuación

numero_aureo012

Tenemos una ecuación de segundo grado de la forma

ax 2 + bx – c = 0

donde a = 1

b = 2

c = —4  (como la fórmula es —c, el —4 queda  positivo)

Sabemos que la fórmula para resolver una ecuación de este tipo es

numero_aureo013

reemplazamos los valores que tenemos, y nos queda

numero_aureo014

(Usamos la opción positiva (+), pues la opción negativa (-) no funciona)

Comprobación:

ABCD cuadrado de 2 x 2

Segmento AB = 2 (a)

Segmento BE = 1,236 (b)

Rectángulo AEFD = 2 x 3,236

Proporción áurea

numero_aureo015

1,618 = 1,618

Respuesta: Un rectángulo de 3,236 x 2 está en proporción áurea a partir de un cuadrado de 2 x 2.

Nota: de este modo se puede calcular cualquier rectángulo en proporción áurea a partir de cualquier cuadrado.

Sobre la composición fotográfica y el número áureo, revisar la página

http://www.dzoom.org.es/descubre-que-es-la-proporcion-aurea-y-como-puede-ayudarte-en-la-composicion-de-tus-fotos/

Ver, además:

http://matematicas.uclm.es/ita-cr/web_matematicas/trabajos/240/La_seccion_aurea_en%20arte.pdf

http://laproporcionperfecta.blogspot.cl/2011/06/numero-de-oro.html

Materias